いくつか記憶に残っている授業がある。10代の頃のことだから、30年以上前のことだ。細かい部分は忘れてしまったけれど、大まかな内容とインパクトは残り続けている。人は誰でも生きている間に記憶に残る出来事に出会うものだけど、学校の授業がそれに含まれているのだから、恵まれた環境にいたのだろう。
たしか中学2年生のはじめの頃だっただろうか。数学の授業のことである。
宅配便業者の運賃表を提示された。それは◯グラム〜◯グラムの荷物は◯円というのが、一覧表になっていた。そこで先生は「これは関数と言えるだろうか」と言ったのだ。
母校では授業のパターンが決まっていて、3つのステップがあった。最初に個人の追求時間。これは、ひとりひとりが問いに向き合う時間だ。次に小集団でのディスカッションの時間。4人ずつのグループに分かれて、個々に考えたことを組み合わせたり反証したりして議論を深める時間だ。そして、各小集団でまとめた意見を発表してクラス全体で共通見解を導いていく。今では一般的な手法なのかもしれないけれど、当時教育プログラムの実験校だった母校は、先進的な取り組みとして導入されていたのだ。
すでに、一次関数についての基礎は学んでいたし、グラフの書き方や「y=ax+b」のような式の解き方は分かっていた。折れ線グラフに表すと、きれいな直線になるわけではなく凸凹とした階段状になる。しかも、階段の上がり方は一定にならない。数式にしようと思っても、値の変化が一定ではないためにうまくできない。これは関数とは呼べないのではないか、という人もいた。一方で、凸凹であってもグラフに表せるのだし、定数のaに当てはめる数を限定すれば式が成立すると主張する人もいて、彼らは関数であると考えた。
小集団でもクラス全体でも、議論は行ったり来たり。教室を半分に分けて討論になり、授業の途中で意見が変わって席を移動する人も現れた。そうこうしているうちに時間が過ぎていく。全員が納得する答えを得られないまま残り時間も数分となったとき、それまで議論を煽るだけ煽っていた先生が声を張った。「今日の授業はここまで！yがxの変化に応じて変化しているから、これは関数です。」クラスが静まり返る。ほとんどの人がきょとんとした表情である。時々ややこしい問いを持ってきては生徒を悩ませていた先生だったのだが、このときはたった1文で正解を提示したのだ。してやられた。
「これが関数の定義。グラフや式という表現に囚われると本質を見失う。これから数年間関数の勉強をするので、この定義を忘れないように。」
表出した現象に囚われる。ということは、日常でもよくあることで、そういうときは本質を見失いやすい。よく知っている現象に当てはまらないからと言って、それが別のものなのかどうかは確定しない。という学びを得た授業だった。
それから1年ほどあとのこと。今度は、一次関数のグラフに2つの点が示された問題が出た。2つの点aとbを結ぶ直線の距離を求めよ。点と点の距離を求める公式があるから、それを知っていれば解ける問題ではあるのだけれど、このときはまだその存在を知らなかった。一部の生徒は学習塾で学んで公式を知っていたけれど、先生から公式の使用を禁止された。つまり、それまでの授業で学んだ知識を使って解くしか無い。
小集団での議論を終えてそれぞれに解を導いたとき、黒板には10の式と答えが並んでいた。いくつかの答えが一致していて、またいくつかの数式が似ていた。で、似ている式を集めてそれぞれの形を整えていく。右辺と左辺を行ったり来たりして、約分して、といったことを繰り返していくうちにひとつの数式になった。ぱっと見た感じでは別々の式に見えていたけれど、同じ形に並べ替えてしまえば、同じ計算をしていたということだ。
最後に、先生が実数をアルファベットに置き換えた。「これがあれば、いつでも点と点の距離が計算できるな。では、実際に別の問題を問いてみよう」。
授業が終わる頃になって、ある生徒が言った。「先生。私の知っている公式とは違います。」「それは、みんなが作った公式をこんなふうに書き換えれば」と言いながら、また数式を並べ替える。そして、それは教科書に掲載されている公式の姿になった。
「いいかい。君らは、自らの手で法則を探し出して公式を導いた。複雑に見える公式にも、考え方の手順が詰まっていることを忘れないように。もし、高校受験の本番に公式を忘れていたとしても、この考え方がわかっていれば、解を導くことが出来るはずだ。」
30年以上の間に、多くの数学的知識は抜け落ちてしまった。でも、自らの手で組み上げることが出来るんだという考え方だけは残っている。そして、導いた公式が本当に実用的なものなのかを、ちゃんと検証することも大切なんだと。
今日も読んでいただきありがとうございます。卒業してしばらく経ってから聞いた話なんだけど、この授業内容って事前の準備にかなりの時間がかかっていたらしい。プランを作って、先生同士でロールプレイングして、どんな伝え方をしたらどんな学びを得られるか、とかね。3年生のとき、これらの授業モデルをまとめた書籍「生徒の思いが育つ授業」が出版されたんだよね。先生たち頑張ったなぁ。
